Deriving the volatility drag formula

먼저 각 기간별 수익률과 CAGR (기하수익률)의 관계는

아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

양변에 로그를 취해주면

아래와 같이 정리가 됩니다.

다음은 테일러 시리즈의 기본 정리와

log(x+1) 의 테일러 시리즈 입니다.

우리가 유도한 식에 풀어주면 다음과 같이 정리가 됩니다.

즉 붉은색으로 표시된 첫번째 Term과,

파란색으로 표시된 두번째 Term 으로

나누어 집니다.

먼저, 첫번째 Term은 심플하게 평균 값을 의미합니다.

두번째 Term은, 약간의 변형을 통해 분산으로 나타낼 수 있습니다.

결국, 평균수익률과 CAGR간의 차이인 Volatility drag는

0.5 * 분산의 관계로 표현되어 집니다.