먼저 Risk에 대한 계량적 분석입니다.
선형 회귀식 모델과 추정식, 잔차항은
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
Residual의 epsilon 값을 최소화 하는
First Order Condition 은
아래와 같이 정리됩니다.
먼저, ① 번을 a에 관해 정리하면
다음과 같이 됩니다.
이를 ② 번에 대입하면,
b에 관해 풀 수 있습니다.
다시 금융의 영역으로 돌아오겠습니다.
CAPM 의 원래 식과,
risk free rate를 0으로 가정한 Reduced form 은
아래와 같이 표현됩니다.
위에서 구한 유도한 b에
y값으로 개별 주식 수익률(Ri),
x값으로 시장 수익률 (Rm) 을 넣으면
우리가 흔히 보는
CAPM의 BETA 가 유도됩니다.
CAPM에서 말하는 BETA는 크게
1) 개별 주식과 시장과의 상관관계
2) 시장 변동성 대비 개별 주식의 변동성
으로 표시 됩니다.
즉, BETA 가 높은 주식은
시장과의 상관관계가 높거나,
시장 대비 변동성이 큰 주식입니다.
상관관계는 뒤에서 언급하고,
먼저 2) 변동성의 영역에 대해 알아보겠습니다.
High Risk - High Return 으로 표현되는
파이낸스의 전통적 격언과는 다르게
현실에서는 Low Risk - High Return 현상이 나타나며,
이를 보통 Low Risk Anomaly 라고 표현합니다.
보통 Risk 를 주식의 Volatility로 표현하므로,
Low Volatility Anomaly 도 같이 통용됩니다.
위의 베타 식으로만 본다면,
당연히 개별 주식의 변동성이 높으면 베타 값이 높아져
결과적으로 수익률이 높아야 합니다.
그러나 여기에는 (기대) 라는 말이 빠져 있습니다.
기대수익률과 실현수익률의 차이를 만드는 것은
바로 복리의 마법입니다.
위 그림은 각 변동성 별 누적 수익률 그래프 입니다.
변동성이 높은 종목일 수록, 첫 Period의 이익이 큽니다.
그러나 두번째 Period 에서 손실 역시 큽니다.
이러한 손익 - 손실이 반복되다 보면,
결과적으로 변동성이 큰 종목의 하락폭이 훨씬 커집니다.
이는 산술평균과 기하평균의 차이에서 비롯됩니다.
Volatility 가 가정하는 정규분포 혹은 산술평균에서는
1σ 만큼 손해가 났어도,
1σ 만큼 다시 이익이 나면
원금으로 돌아온다는 가정이 있습니다.
그러나 현실에서는
50%의 손해가 났을 경우,
원금이 되기 위해서는 100%의 이익이 나야 합니다.
하락 후 원금 회복에 필요한 변동성이
좌우대칭이 아닙니다.
이러한 차이를
Volatility Drag라 표현합니다.
결국, Volatility 가 작을 수록
이러한 Drag 현상은 작아지며,
장기적으로 수익률에 긍정적인 영향을 미칩니다.
실제 주식시장은
항상 상승과 하락이 반복되며,
하락에서의 데미지가 적은 쪽이
원금회복까지 소요되는 시간이 짧아
결과적으로 생존하게 됩니다.
그 결과물이 바로 Low Volatility Anomaly 입니다.
KOSPI200 기준
Volatility 분위수 별 누적 수익률 입니다.
Volatility가 작을 수록 Volatility Drag 가 작아
장기적으로 높은 수익률을 거둡니다.
Minimum Variance Portfolio 가 Index 대비
장기적으로 우수한 성과를 보이는 것도
이와 똑같은 원리입니다.
각각 상승, 보합, 하락장에서
Volatility의 분위수 별 수익률 입니다.
보합과 하락장에서, 상대적으로 수익률이 높습니다.
KOSPI200 월별 수익률이 (+)와 (-) 일 경우
Volatility 분위수 별 수익률 입니다.
역시나 하락 장에서의 수익률 방어가 뛰어납니다.
Volatility Drag가 큰 하락으로 인한 데미지에 기인한다면,
하락폭의 변동성만을 측정한
Downside Deviation 도 똑같은 현상이 나타나야 합니다.
일반적인 Volatility가 상승과 하락
모든 측면의 변동성을 계산한 것이라면,
Downside Deviation은 0이하, 즉 하락 시점에서의
변동성만을 계산한 값입니다.
Low Volatility 보다는 분위수별로 정확하게
수익률의 차이가 나타나지는 않지만,
전반적으로 Downside Deviation이 낮을수록
장기 수익률은 우수합니다.
이러한 Low Volatility 현상이 존재하기 위해서는
과거의 변동성이 미래에도 지속되어야 한다는
가정이 있어야 합니다.
저변동성 주식을 선택하였을 경우,
차기의 변동성 또한 낮아
Drawdown 후 Volatility Drag를 피할 수 있기 때문입니다.
위 그림은 T Period 의 변동성과
T+1 Period 의 변동성 비교 그래프 입니다.
몇몇의 outlier 를 제외하고는,
linear 하게 비례함을 볼 수 있습니다.
이는 변동성이 낮은 종목이
특정 팩터, 혹은 섹터에 몰려 있기 때문일 수도 있고,
시계열에서 널리 알려진
Volatility Clustering 현상 때문일 수도 있습니다.
Low Downside Deviation과 Low Volatility 기준
50 종목 포트폴리오 입니다.
거의 동일한 수익률을 보이며
Correlation 은 0.97 입니다.
Low Downside Deviation 기준 1분위 종목들의
Low Volatility 분위수 분포표 입니다.
대부분 Volatility 기준으로도
1분위 임을 볼 수 있습니다.
다음은 BETA 식에서 우리가 SKIP 하였던
1) 시장과의 공분산에 대한 영역입니다.
포트폴리오의 분산은
다음과 같이 쓸 수 있습니다.
여기서 붉게 표시된 부분이
각 종목들 간의 공분산 Term 이며,
공분산이 낮을 수록 포트폴리오의 분산은 낮아집니다.
이것이 파이낸스의 시작인 "분산효과" 입니다.
High Beta 주식이 시장과의 High Correlation,
혹은 Low Diversification Effect 에서 기인하는 것이라 보면
High Beta Portfolio 는 포트폴리오의 분산을
낮추지 못합니다.
반면, Low Beta 주식으로 구성된 포트폴리오는
낮은 분산의 포트폴리오를 구축하게 됩니다.
KOSPI200 기준
Beta 분위수 별 누적 수익률 입니다.
Low Beta Portfolio 가 High Beta Portfolio를
장기적으로 아웃퍼폼 함이 확인됩니다.
낮은 상관관계로 인한 높은 분산효과로,
포트폴리오의 변동성이 전체적으로 낮아졌기 때문입니다.
이는 결국, 포트폴리오 관점에서의
Low Volatility Anomaly로 연결되며,
위에서와 동일하게 설명이 가능합니다.
Maximum Diversification Portfolio (MDP) 역시
이와 비슷한 관점에서 이해할 수 있으며,
이것이 MDP 전략의 포트폴리오가
장기적으로 우수한 성과를 보이는 이유입니다.
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