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2016년 12월 25일 일요일

포트폴리오 제약조건이 최소분산 포트폴리오 성과에 미치는 영향: KOSPI200 대상



최소분산 포트폴리오란?


전통적인 효율적 곡선 (Efficient Frontier) 하에서
가장 왼쪽 지점, 즉 분산이 가장 낮은 포트폴리오를 의미한다.

이론에 따르면 High Risk, High Return
즉, 효율적 시장 곡선 상에서 우측에 위치할 수록
기대수익률이 가장 크며,

가장 좌측에 위차한 GMV Portfolio는
기대수익률이 가장 낮아야 한다.

그러나 실증적으로 GMV Portfolio 의 실현수익률이
가장 높게 나타난다.
(Low Volatility Effect)





전세계적으로 각종 지수 업체들에서는
각 국가, 혹은 대표 시장지수 내에서

전통적인 시가총액 가중 방식이 아닌
Minimum Volatility 지수를 제공하고 있으며,

이를 추종하는 펀드, 혹은 ETF 상품 또한 존재한다.





최소분산 포트폴리오 구성방법

최소분산 포트폴리오 (MVP)는 최적화 작업을 통해 구할 수 있다.

일반적으로 최적화는 크게

목적함수 (Objective function) 와
제약조건 (Constraint) 이 필요하다.


먼저,  MVP의 목적함수에 대해 알아보면

포트폴리오의 분산은
(1) 번과 같이 나타나며 (w'Ωw)

MVP는 (2) 번과 같이 
이 값이 최소화되는 w를 찾는
최적화 작업을 통해 구할 수 있다.




Long Only Portfolio 의 제약조건은

(3) 투자비중의 합이 1일 것 (100% 투자)
(4) 공매도 투자 (Short Position) 이 없을 것 이다.



즉, 기본적인 MVP 는
비선형(Non-linear) 목적함수와
선형(Linear) 제약조건으로 구성되어 있다.

목적함수가 비록 비선형의 형태이지만
2차 함수 (Quadratic objective function)의 형태이므로
엑셀 해찾기, 혹은 Quadratic Programming 을 통해
쉽게 구할 수 있다.






비제약 최소분산 포트폴리오의 문제

Long Only 제약조건만 들어간 MVP 의 경우
오직 분산이 최소화 되는 Weight를 찾는다.

따라서, 해당 조건이 충족되는 포트폴리오는
분산이 굉장히 작은 소수 종목으로도 구성이 가능하다.

KOSPI 200 종목을 대상으로
비제약조건 MVP 를 구성할 경우
200 종목 중 20~40 종목으로도 구성이 가능하다.

해당 조건으로 구성된 MVP의 경우
Ex ante volatility 의 경우 최소화가 되지만

이에 따라 발생 하는 문제는 아래와 같다.

ⅰ. 소수 종목으로 인한 분산효과 불가능
ⅱ. 특정 종목으로의 지나친 쏠림

아래는 KOPSI 200 대상
비제약 MVP 구성시 종목 간 비중이며,
붉은색 X 표시가 비중이 0 보다 큰 경우이다.

특정 소수 종목에 비중이 지나치게 쏠림을
확인할 수 있다.



투자가능성을 위한 제약조건의 추가

따라서 MVP Index 구성시
투자가능성 및 현실성을 고려한
다양한 제약조건들이 추가된다.


ⅰ. Cap Weight

특정 종목으로의 비중 쏠림 방지를 위해
종목 간 최대 비중에 제약을 준다.
해당 연구에서는 최대 비중을 5% 로 제한한다.

그러나, 벤치마크 내에서 1~2bp 차지하는 등
극소형주에 5%의 비중을 부여하면,
벤치마크와의 추적오차 (Tracking Error) 가
지나치게 커지게 되며,

실제 포트폴리오의 운용금액이 증가시
마켓에의 영향도 커지게 된다.

따라서, [ 종목의 시장비중 * 20 ]  의
최대 비중도 추가적으로 제약조건을 준다.

이를 동시에 고려한 Cap Weight Upper Bound 는
아래와 같다.



Upper Bound 를 도식화 하면 아래와 같다.



대형주의 경우 최대 비중이 5%로 제약되며,

중소형주로 갈 수록 시가총액에 비례하여
최대 비중 제약조건이 낮아짐을 알 수 있다.


ⅱ. Sector Weight

MVP 구성시 변동성이 작은 특정 섹터로의
쏠림이 있을 수 있으므로

Sector 당 비중의 합을 20% 내로 제한한다.


ⅲ. Concentration Constraint

포트폴리오 내에서 특정 종목으로의 쏠림이
얼마나 심한가를 측정하는 지표로
Diversification Ratio 혹은 Effective N 이 사용된다.




종목간에 비중 쏠림이 작을 수록
Diversification Ratio 과 Effective N 은 커지게 된다.

극단적으로 쏠림이 작은 동일가중 포트폴리오의 경우

Diversification Ratio 는 0.995 가 나오며,
Effective N 은 200 이 나온다.

해당 연구에서는 FTSE 에서 사용되는 Effective N: 50에 맞춰
Diversification Ratio > 0.98 의 제약조건을 둔다.


선형 제약조건 vs 비선형 제약조건

위의 제약조건 중 Cap weight 와 Sector weight 의 경우
비중의 합이 특정 값 보다 작도록 하므로
선형 제약조건 (Linear Constraint) 에 해당한다.

이는 기존 비제약 MVP 를 구하는
 Quadratic Programming 에
추가 제약 조건을 추가함으로써 쉽게 구할 수 있다.

그러나 Concentration Constraint 의 경우
Weight 에 제곱이 들어간다.

따라서 이는 비선형 제약조건 (Non linear Constraint) 이며
비선형 목적함수 및 비선형 제약조건에 해당한다.

이는 기존 Quadratic Programming 으로는 풀 수 없으며,
iteration 을 통해 값을 구해야 한다.

해당 연구에서는 DEoptim 패키지를 활용한
Differential Evolution 방법론을 사용한다.

200 종목에 대한 iteration 이 사용되므로
최적화 값을 찾는데 굉장히 오랜 시간이 소요된다.

(CPU 3.40GHz, RAM 16GB 기준 1회당 5분 정도 소요)


시뮬레이션 방법론

본 연구에서는 위의 제약조건들을 토대로
KOSPI 200 대상 MVP 를 시뮬레이션 한다.

기간은 2000년 1월 부터 현재까지를 하며,
사용되는 covariance matrix는
Daily return 기준 과거 1년 값을 사용한다. 

Monthly 및 Semi Annual Rebalancing 을 시행하며
각각 아래 포트폴리오에 대한 백테스트를 한다.


ⅰ. KOSPI 200
ⅱ. MVP with No Constraint
ⅲ. MVP with Cap weight Constraint
ⅳ. MVP with Sector weight Constraint
ⅴ. MVP with Cap & Sector weight Constraint
ⅵ. MVP with Cap & Concentration Constraint

1bp 이하의 종목의 비중은 0으로 처리한다.


백테스트: 월간 리밸런싱
2000년 1월부터 월간 리밸런싱 기준
누적수익률 및 년도별 수익률,
요약 통계량은 아래와 같다.
　
KOSPI 200
No Constraint
Cap Weight
Sector Weight
Cap & Sector
Cap & Concen
누적 수익률
1.01
1.73
2.86
2.27
2.69
2.53
연율화 수익률
0.04
0.06
0.08
0.07
0.08
0.08
연율화 변동성
0.23
0.20
0.18
0.19
0.18
0.21
샤프 지수
0.18
0.30
0.46
0.38
0.44
0.36
MDD
0.55
0.49
0.37
0.47
0.38
0.45
추적 오차
0.00
0.17
0.13
0.16
0.13
0.10
정보 비율
0.00
0.11
0.31
0.19
0.29
0.36
사전 변동성 (평균)
0.36
0.09
0.14
0.09
0.14
0.17
종목 구성수 (평균)
199.00
32.00
64.00
32.00
64.00
116.00
분산 정도 (평균)
0.95
0.91
0.97
0.93
0.97
0.98
상위 5개 합 (평균)
0.37
0.51
0.25
0.47
0.25
0.19


제약조건이 없는 순수 MVP의 사전변동성은 가장 낮았지만
소수 종목으로의 쏠림으로 인해 성과가 가장 열등했으며,

특정 종목으로의 쏠림을 방지한
Cap Weight 제약조건의 성과가 가장 우수했다.

반면 Cap Weight MVP 의 평균 구성종목은 64 종목으로써
실제 포트폴리오 구성시 높은 Turnover 를 기록할 수 있으나

Cap Weight에 Concentration 제약조건을 추가로 부여하면
평균 종목수가 116 종목으로 늘어나 
이러한 문제를 방지할 수 있다.

또한, 상대적으로 종목수가 많아진 만큼
상대적으로 전 종목에 비중이 부여된 만큼

벤치마크를 대상으로 하는
추적 오차 및 정보 비율에서는
Concentration 제약조건을 추가하는 것이
매우 효율적이다.

다음은 각 지표의 시계열 흐름을 나타낸 그래프이다.

사전 변동성 (Ex-ante volatility)

종목 구성수


분산 정도

상위 5개 종목 비중 합


백테스트:  리밸런싱

 이번에는 대부분의 지수 업체들이 채택하고 있는
반기 리밸런싱 (Semi-Annual) 을 테스트한다.

2000년 부터 1월 및 7월 초에 리밸런싱을 하는 조건이다.

누적수익률 및 년도별 수익률,
요약 통계량은 아래와 같다.


　
KOSPI 200
No Constraint
Cap Weight
Sector Weight
Cap & Sector
Cap & Concen
누적 수익률
1.01
0.60
1.91
1.05
1.91
2.04
연율화 수익률
0.04
0.03
0.06
0.04
0.06
0.07
연율화 변동성
0.23
0.21
0.18
0.20
0.18
0.24
샤프 지수
0.18
0.13
0.36
0.22
0.36
0.29
MDD
0.55
0.50
0.44
0.45
0.44
0.48
추적 오차
0.00
0.05
0.04
0.05
0.04
0.04
정보 비율
0.00
0.19
0.13
0.16
0.13
0.13
사전 변동성 (평균)
0.37
0.09
0.14
0.09
0.14
0.18
종목 구성수 (평균)
199.26
31.74
63.79
33.15
64.41
113.97
분산 정도 (평균)
0.95
0.89
0.97
0.93
0.97
0.98
상위 5개 합 (평균)
0.37
0.53
0.25
0.48
0.24
0.19


제약조건이 없는 MVP 모델의 경우
리밸런싱 주기가 길어짐에 따라
극도로 성과가 하락하게 되었다.

이번에도 역시 Cap Weight 및
Concentration 제약조건이 들어간 성과가 우수하였으며,
둘 간의 성과는 거의 비슷하였다.

월간 리밸런싱에서 턴오버에 따른 매매수수료를 고려한다면,
월간과 반기 리밸런싱의 성과는
사실상 거의 비슷한 것으로 보인다.

다음은 각 지표의 시계열 흐름을 나타낸 그래프이다.

사전 변동성 (Ex-ante volatility)

종목 구성수

분산 정도

상위 5개 종목 비중 합

결론 및 향후 과제

결론

최소 분산 포트폴리오를 비제약 조건으로 구성할 경우
특정 종목으로의 종목 쏠림 현상이 심하여
사전적 변동성은 낮게 구성되더라도
수익률에 매우 부정적인 영향을 미친다.

이러한 점을 방지하기 위해 특정 종목의 상한선을 정한
Cap Weight 제약조건을 부과하면,

모지수 (KOSPI 200) 대비
낮은 변동성과 높은 성과를 거둘 수 있다.

그러나 이 또한 종목수가 지나치게 낮아
리밸런싱시 턴오버가 높을 수 있으며,
이를 방지하기 위해 분산정도 제약조건을 추가하면
상대적으로 많은 종목으로 포트폴리오를 구성할 수 있다.

또한 월간 리밸런싱과 분기 리밸런싱의 차이를 보면
월간 리밸런싱이 성과가 다소 우수하지만,
매매수수료를 고려한다면 거의 비슷한 수익률을 보인다.


향후과제

분산정도 제약조건에 사용되는 Differential Evolution 방법론은
Global Minimum 해를 찾는 방식이지만,
초기값을 어떻게 설정하느냐에 따라 결과값이 다르게 나타난다.

똑같은 제약조건을 실행하더라도
반복시마다 부과되는 초기값이 다르므로 큰 차이는 아니지만
다소 다른 결과가 나타난다.
이를 해결할 수 있는 방안이 필요하다.

또한, 해를 찾는데 시간이 지나치게 오래걸리므로
CPU 병렬처리 및 GPU 연산을 통해
계산속도를 올리는 법도 연구하여야 하겠다.

마지막으로, 정확한 턴오버, 매매수수료 및
포트폴리오 성과 분해가 필요하겠다.


요약 통계량 


월간 리밸런싱 (Monthly)
　
KOSPI 200
No Constraint
Cap Weight
Sector Weight
Cap & Sector
Cap & Concen
누적 수익률
1.01
1.73
2.86
2.27
2.69
2.53
연율화 수익률
0.04
0.06
0.08
0.07
0.08
0.08
연율화 변동성
0.23
0.20
0.18
0.19
0.18
0.21
샤프 지수
0.18
0.30
0.46
0.38
0.44
0.36
MDD
0.55
0.49
0.37
0.47
0.38
0.45
추적 오차
0.00
0.17
0.13
0.16
0.13
0.10
정보 비율
0.00
0.11
0.31
0.19
0.29
0.36
사전 변동성 (평균)
0.36
0.09
0.14
0.09
0.14
0.17
종목 구성수 (평균)
199.00
32.00
64.00
32.00
64.00
116.00
분산 정도 (평균)
0.95
0.91
0.97
0.93
0.97
0.98
상위 5개 합 (평균)
0.37
0.51
0.25
0.47
0.25
0.19

분기 리밸런싱 (Semi Annual)
　
KOSPI 200
No Constraint
Cap Weight
Sector Weight
Cap & Sector
Cap & Concen
누적 수익률
1.01
0.60
1.91
1.05
1.91
2.04
연율화 수익률
0.04
0.03
0.06
0.04
0.06
0.07
연율화 변동성
0.23
0.21
0.18
0.20
0.18
0.24
샤프 지수
0.18
0.13
0.36
0.22
0.36
0.29
MDD
0.55
0.50
0.44
0.45
0.44
0.48
추적 오차
0.00
0.05
0.04
0.05
0.04
0.04
정보 비율
0.00
0.19
0.13
0.16
0.13
0.13
사전 변동성 (평균)
0.37
0.09
0.14
0.09
0.14
0.18
종목 구성수 (평균)
199.26
31.74
63.79
33.15
64.41
113.97
분산 정도 (평균)
0.95
0.89
0.97
0.93
0.97
0.98
상위 5개 합 (평균)
0.37
0.53
0.25
0.48
0.24
0.19
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