포트폴리오 제약조건이 MDP 성과에 미치는 영향: KOSPI200 대상

Maximum Diversification Portfolio (MDP) 란?

기존 최소분산 포트폴리오 (Minimum Volatility) 는

단순히 포트폴리오 전체의 분산을 최소화 하는

최적화 기법이었다.

단면 MDP는 포트폴리오 분산의 수식으로 돌아간다.

포트폴리오 분산의 수식 중에는

자산간의 상관관계가 포함되어 있으며,

기본적으로 상관관계는 -1 과 1 사이에 위치한다.

상관관계가 1일 경우

포트폴리오의 분산은 단순히 자산간 분산의

선형관계이며,

상관관계가 -1일 경우

무위험 포트폴리오를 구성할 수 있다.

따라서 자산간 상관관계를 낮출 수록

낮은 분산으로 동일한 수익률을 얻을 수 있는

포트폴리오를 구성할 수 있다.

이것이 바로 Portfolio 이론의 기초가 된

Efficient Frontier 의 기본 개념이다.

다시 MDP로 돌아가면,

MDP 는 DR는 최대화 하는 기법이다.

DR 은

분산 가중평균 / 포트폴리오 분산

으로 나타나며

자산간 분산효과가 커질 수록,

포트폴리오 전체 분산은 작아지며 (분모)

분모가 작아지므로 전체 값 (DR) 은 커지가 된다.

MVP의 경우 단순히

DR식의 분모 최소화에서 집중 되어 있지만,

분산 최소화가 분산 효과 최대화와

동일함을 의미하지는 않는다.

MDP 구성방법

(No Constriant) MDP 구성의

목적함수는 Max DR 이며

제약함수는 Long Only 이다.

투자가능성을 위한 제약조건 추가

제약조건이 없이 최적화로 포트폴리오를 구성할 경우의 문제점은

지난번에도 언급한 적 있다.

ⅰ. 소수 종목으로 인한 분산효과 불가능

ⅱ. 특정 종목으로의 지나친 쏠림

따라서 투자가능성을 위해 몇가지 제약조건을 추가 한다.

ⅰ. Cap weight

특정 종목으로의 비중 쏠림 방지를 위해

종목 간 최대 비중에 제약을 준다.

해당 연구에서는 최대 비중을 5% 로 제한한다.

그러나, 벤치마크 내에서 1~2bp 차지하는 등

극소형주에 5%의 비중을 부여하면,

벤치마크와의 추적오차 (Tracking Error) 가

지나치게 커지게 되며,

실제 포트폴리오의 운용금액이 증가시

마켓에의 영향도 커지게 된다.

따라서, [ 종목의 시장비중 * 20 ]  의

최대 비중도 추가적으로 제약조건을 준다.

이를 동시에 고려한 Cap Weight Upper Bound 는

아래와 같다.

Upper Bound 를 도식화 하면 아래와 같다.

대형주의 경우 최대 비중이 5%로 제약되며,

중소형주로 갈 수록 시가총액에 비례하여

최대 비중 제약조건이 낮아짐을 알 수 있다.

ⅱ. Concentration Constraint

포트폴리오 내에서 특정 종목으로의 쏠림이

얼마나 심한가를 측정하는 지표로

Diversification Ratio 혹은 Effective N 이 사용된다.

종목간에 비중 쏠림이 작을 수록

Diversification Ratio 과 Effective N 은 커지게 된다.

극단적으로 쏠림이 작은 동일가중 포트폴리오의 경우

Diversification Ratio 는 0.995 가 나오며,

Effective N 은 200 이 나온다.

해당 연구에서는 FTSE 에서 사용되는 Effective N: 50에 맞춰

Diversification Ratio > 0.98 의 제약조건을 둔다.

비선형 제약조건의 선형화

지난번 연구에서는 Concentration Constraint 를 풀기 위해

비선형 방법론 (Differential Evolution) 을 사용하였으나,

해당 방법론은 다음과 같은 단점이 있다.

ㄱ. 계산 시간이 지나치게 오래 걸림

ㄴ. 계산 반복시 마다 값이 미세하게 변경됨

해당 연구에서는 Ridge Regression 을 활용하여

비선형 제약조건을 강제로 선형 제약조건으로

변경하여 문제를 해결하도록 한다.

[Link: Ridge Regression]

MDP 포트폴리오에의 적용은

간단히 표현하면 다음과 같다.

람다 값이 0 일 경우

기존의 일반적인 MDP 목적함 수 이지만,

람다 값이 증가할 수록 Concentration 제약조건도 함께 고려된다.

람다 값의 증가에 따른

DR 과 Diversification 정도의 그래프 이다.

람다가 0 인 경우,

max DR 최적화 값만 찾지만

람다가 증가할 수록

DR 값은 점차 감소하는 반면

종목간 분산화 정도는 점점 증가한다.

해당 연구에서는 각 리밸런싱 시점에서

Diversification 값이 0.98 이 (Effective N = 50)

되는 람다 값을 찾은 후,

해당 값을 제약 조건에 부여한다.

시뮬레이션 방법론

본 연구에서는 위의 제약조건들을 토대로

KOSPI 200 대상 MDP 를 시뮬레이션 한다.

기간은 2001년 1월 부터 현재까지를 하며,

사용되는 covariance matrix는

Daily return 기준 과거 1년 값을 사용한다. 

Quarterly Rebalancing 을 시행하며

(1, 4, 7, 10월 초)

각각 아래 포트폴리오에 대한 백테스트를 한다.

ⅰ. KOSPI 200

ⅱ. MDP with No Constraint

ⅲ. MVP with Cap weight Constraint

ⅳ. MVP with Cap & Concentration Constraint

1bp 이하의 종목의 비중은 0으로 처리한다.

백테스트: 분기별 리밸런싱


2001년 1월부터 분기별 리밸런싱 기준
누적수익률 및 년도별 수익률,
요약 통계량은 아래와 같다.

	KOSPI 200	No Constraint	Cap Weight	Cap & Concen
누적 수익률	3.1043	1.3427	4.6469	4.5825
연율화 수익률	0.0923	0.0546	0.1143	0.1135
연율화 변동성	0.2158	0.2265	0.2089	0.2155
샤프 지수	0.4276	0.2413	0.5470	0.5266
MDD	0.4698	0.5835	0.4698	0.4754
추적 오차	0.3226	0.3332	0.3158	0.3205
정보 비율	0.0000	-0.1140	0.0709	0.0671
사전 변동성 (평균)	0.3046	0.1070	0.1406	0.1580
DR (평균)	1.8554	3.2587	2.9014	2.8582
종목 구성수 (평균)	199.1911	40.7941	71.9852	95.6470
분산 정도 (평균)	0.9463	0.9422	0.9727	0.9809
상위 5개 합 (평균)	0.3719	0.3664	0.2390	0.1903

비제약 조건 MDP 의 경우, DR 값은 가장 높았지만 

과최적화로 인해 지수 보다 못한 성과를 기록하였다.

반면 Cap Weight 및 Concentration Constraint 를 부과할 경우

지수 대비 우월한 성과를 거둠이 확인됐다.

	Alpha	MKT	SMB	HML	R-square
No Constraint	-0.0028 (-1.286)	0.8033 (23.798)	0.6211 (12.484)	0.2440 (4.998)	0.8047
Cap Weight	0.0014 (0.875)	0.8076 (32.102)	0.5051 (13.622)	0.2287 (6.286)	0.8724
Cap & Concen	0.0014 (1.017)	0.8435 (38.277)	0.5622 (17.309)	0.2058 (6.458)	0.9080

각 제약조건의 수익률과

FF 3 factor 의 회귀분석 결과를 살펴보면

제약조건이 추가 될 수록,

종목에 대한 분산정도가 커져,

Market beta 값이 증가 함을 알 수 있다.

다음은 각 지표의 시계열 흐름을 나타낸 그래프이다.

사전 변동성 (Ex-ante volatility)

DR

종목 구성수

분산 정도

상위 5개 종목 비중 합

백테스트: 턴오버와 매매비용 추가

제약조건이 작을 수록 종목 수가 작아져

턴오버가 증가하며, 이는 매매비용의 증가로 이어진다.

따라서 추가적으로 이를 고려해 보도록 한다.

먼저 턴오버는 다음과 같이 정의한다.

전기 리밸런싱 시점과 현재 시점

각 종목간의 비중 차이 절대 값의 합으로

매수 / 매도 양측 모두를 고려한다.

턴오버

턴오버 (년도별)

제약조건이 약할 수록 턴오버가 증가함을 알 수 있다.

턴오버에 따른 매매수수료를 고려한 수익률을 살펴보도록 하겠다.

수수료의 경우 슬리피지 비용까지 고려하여 

아래와 같이 고려한다.

매수, 매도: 10bp

매매시 세금: 30bp

매매수수료 전과 후의 연율화 수익률 비교는 다음과 같다.

	수수료 전	수수료 후	감소 폭
No Constraint	0.0546	0.0452	20.80%
Cap Weight	0.1143	0.1072	6.62%
Cap & Concen	0.1135	0.1072	5.88%

턴오버가 심할 수록 매매 수수료로 인한

수익률 감소폭이 커졌다.